Réfutation du modèle fractal de l'espace-temps à l'échelle quantique

Enfin, voici ce que je pense avoir compris de la forme de l'espace-temps, par une intuition également non-rigoureuse et qui ne me semble même pas originale, par rapport à quoi les propositions de Nottale s'avèrent finalement très frileuses.

Bien que je ne sois pas un spécialiste, les notions premières de théorie quantique des champs que j'ai néanmoins déjà assimilé, me permettent de rendre compte de la situation de la manière suivante sans risque de faire fausse route (ce qui est d'ailleurs finalement logique et assez inévitable dès au vu des notions premières de mécanique quantique):

Considérons une échelle de résolution spatiale suffisamment fine pour que, étant données les limites d'énergie disponibles dans le système, la liste des états quantiques possibles de ce qui est contenu dans un "pixel" de la taille de cette résolution et ne dépassant pas cette énergie, puisse être énumérée. Suivant cette résolution, on peut faire une description approximative de l'état quantique du système, comme combinaison linéaire quantique de configurations construites comme assemblages des états "élémentaires" des pixels d'énergie limitée ci-dessus mentionnés. Peu importe qu'on parle en termes de pixels ou de régularisation différentiable (cut-off...), l'important est ce schéma de décomposition de l'état d'un système global comme combinaison linéaire quantique de configurations de détails ayant une finesse donnée.

Ensuite, quand on zoome, qu'est-ce qu'on trouve ?

Si tout était différentiable, on ne trouverait pas de nouveaux détails et tout serait lisse.

Si tout était fractal, il n'y aurait pas un nombre fini d'états possibles pour chaque pixel, parce qu'en zoomant à l'intérieur du pixel on trouverait de nouveaux détails, et de nouvelles informations, en contradiction avec ce qu'on a dit, à savoir qu'il n'y a au total réellement qu'un petit nombre fini d'états possibles du système physique contenu dans ce pixel dans les limites d'énergie données, sans avoir besoin de chercher les détails à des résolutions plus fines.

Non bien sûr, ce n'est ni l'un ni l'autre. Alors c'est quoi ? Eh bien, c'est que l'état simple d'énergie limitée à l'intérieur de chaque pixel, est lui-même constitué d'une combinaison linéaire quantique de multiples configurations possibles de détails plus fins. Donc oui il y a des détails, mais l'analyse de ces détails par adoption d'une résolution plus fine est indissociable du fait de réaliser une nouvelle décomposition de l'état quantique de départ en superposition quantique de multiples configurations.
Ainsi donc, les configurations possibles des détails sont nombreuses, et leurs combinaisons linéaires quantiques le sont aussi, mais parmi ces combinaisons, il n'y en a qu'un petit nombre qui respectent la limitation d'énergie disponible qu'on avait supposée au départ, c'est pourquoi extérieurement cela apparaît comme n'étant qu'un petit nombre d'états possibles du système. Et extérieurement toujours, on retrouve une sorte de différentiabilité du système malgré le fait qu'il comporte des détails à toutes les échelles, au sens suivant: c'est que dans l'espace de toutes les configurations possibles des détails à une certaine échelle fine (chaque configuration étant une sorte de fractale aux détails limités par cette résolution), la fonction amplitude de présence des configurations (fonction définie sur l'ensemble des configurations) dans la décomposition de chacun de ces rares états globaux d'énergie limitée, est une fonction différentiable par rapport aux déformations qu'on peut exercer sur les configurations.

Alors, quel est au fond l'état d'un système ? Pour pouvoir le décrire comme fractal, c'est-à-dire ayant des détails à toutes les échelles, il faudrait avoir effectué toutes les décompositions de ces superpositions quantiques de détails présents à chaque échelle et en chaque lieu. Plus on décompose ainsi par l'examen de détails de plus en plus fins, plus les termes de la décomposition sont nombreux et à l'amplitude de présence faible chacun. Chaque détail n'est finalement que l'expression du choix qu'on a effectué du terme de la décomposition lorsqu'on a affiné l'examen en le lieu de ce détail. A la limite, chaque fractale idéale comme objet non-différentiable avec infiniment de détails obtenue par la suite infinie des décompositions à toutes les échelles, a une amplitude de présence nulle. Les lois de la physique étant locales et non globales, les détails obtenus en un endroit d'un système ne sont quasiment pas corrélés aux détails en un autre endroit (sauf un peu via l'interaction par le milieu intermédiaire...), il n'est donc pas pertinent d'en donner une image de fractale donnant les détails en plusieurs endroits (ou alors il faudrait donner toutes les images correspondant à tous les termes de la combinaison, dont la liste explose avec la finesse de la résolution demandée, ce qui n'est pas humainement une bonne manière d'intuiter la sitation).

En conclusion, quelle est la forme de l'espace-temps ? Puisque d'après la relativité générale sa forme dépend de la matière, et que d'après la physique quantique la disposition de la matière est indéterminée et sujette aux superpositions quantiques, il s'ensuit que la forme de l'espace-temps est elle-même sujette à de telles superpositions.

Reprenons la description précédente, et voyons ce que devient l'espace-temps au cours des zooms successifs.
Une fois donné l'état d'un système à une résolution (donc, ayant donné une forme de l'espace-temps à cette résolution), affinons la résolution et voyons ce qu'on obtient.
On obtient, nous disions, une combinaison linéaire quantique de plusieurs configurations possibles de détails. A chacune de ces configurations correspond, d'après la relativité générale, une certaine forme de l'espace-temps, donc un espace différent. Si on voulait identifier un pixel fin d'une de ces configurations à un d'une autre appartenant à cette combinaison linéaire, il faudrait préciser quel homéomorphisme on choisit entre ces mini morceaux d'espace-temps parallèles. Puisque leur géométrie est différente, on est mal à l'aise pour trouver un homéomorphisme canonique. Donc il ne semble pas pertinent d'identifier entre eux les morceaux d'espaces-temps portant les différents termes de la combinaison.

Finalement, que serait un point évènement ? A chaque étape du zoom, un point ou pixel donné n'existe que pour un des termes choisis de la combinaison linéaire quantique. Pour désigner ce pixel, il faut préciser quel terme de la combinaison on considère.
Pour désigner un point idéal, il faut zoomer à l'infini, et à chaque étape du zoom sélectionner un des termes. L'amplitude d'existence du point cherché est donc d'autant plus affaiblie. A la limite d'un zoom à l'infini, on arrive à un point dont l'amplitude d'existence tend vers zéro.
Voilà pourquoi les points de l'espace-temps n'existent pas.

Alors, vous voyez pourquoi comparée à cela, l'idée d'un espace-temps comme espace continu et non différentiable constitué d'un ensemble bien déterminé de points me fait bien rigoler.
Retour : critique de la relativité d'échelle de Laurent Nottale
Si la relativité et la physique théorique vous intéresse, une présentation rénovée se trouve ici: La relativité restreinte rendue intuitive - English version: Special relativity theory made intuitive