Chapitre 2

La relativité générale est une théorie fondée sur des principes physiques fondamentaux: covariance générale et principe d'équivalence. Son outil mathématique apparaît comme un moyen naturel de mise en oeuvre de ces principes. Au contraire la mécanique quantique reste une théorie purement axiomatique. Elle se fonde sur des règles mathématiques qui n'ont pas, jusqu'à présent, pu être comprises à partir de mécanismes plus fondamentaux.

Je ne vois pas la différence. La seule différence, c'est que les principes de la relativité générale sont facilement popularisables. Ceux de la mécanique quantique le sont moins, mais ils existent: "équivalence" avec la mécanique statistique avec le facteur exp (iS/hbar) au lieu d'une exponentielle réelle décroissante; invariance de jauge dont la parenté profonde avec le principe d'équivalence de la relativité générale n'a échappé à aucun physicien.

il ne faut pourtant pas oublier que la relativité générale reste une théorie partiellement locale (son outil fondamental, l'élément de métrique, est de nature différentielle) et est peut-être insuffisante pour appréhender la topologie globale de l'univers.

Et pourquoi faudrait-il qu'il y ait une théorie pour prédire la topologie globale de l'univers ? Les théories font des prédictions de résultats comme dépendant des conditions initiales et des conditions aux limites du système. Si la théorie devait aussi prédire les conditions initiales ou les conditions aux limites, on ne pourrait pas faire plusieurs expériences avec des conditions différentes, ce qui est absurde. Pour la même raison, je ne vois pas le problème à admettre la topologie de l'univers comme une affaire contingente (contextuelle), éventuellement reliable à ce qui a pu se produire lors du big-bang si on arrive à l'appréhender...
Si on veut faire une théorie physique non locale, elle permettra sans doute de transmettre de l'information plus vite que la lumière, en contradiction avec ce qu'enseigne la relativité (même la non-localité de la physique quantique peut se voir comme quelque chose de local en un certain sens...).

Rappelons l'énoncé qu'Einstein a donné du principe de relativité générale...

Bof, le vrai sens de cet énoncé est de relativiser le choix d'un système de coordonnées, exprimant l'emploi de coordonnées non cartésiennes mais curvilignes, les coordonnées cartésiennes n'étant plus possibles. Le présenter en termes d'un principe de relativité du mouvement est en fait une approche assez éloignée des principes, puisque la notion de mouvement n'est pas fondamentale mais est une construction en termes de perceptions familières. Pour faire une analogie qui tienne la route sérieusement ce n'est pas ainsi qu'on y arrivera.

D'ailleurs nous allons démontrer en Sec. 6.4 que ce postulat supplémentaire n'est pas nécessaire pour obtenir la transformation de Lorentz, qui est en fait la transformation la plus générale qui satisfait au principe de relativité restreinte, dès sa forme galiléenne.

Cette démonstration est un classique de la relativité restreinte, ce qui n'avance pas la définition d'un principe de relativité d'échelle.

La traduction mathématique du principe de relativité est la covariance générale:3 "les lois générales de la nature doivent s'exprimer par des équations valables dans tous les systèmes de coordonnées, c'esdt à dire qui restent covariantes dans toutes leurs transformations ".

Certes en un sens. Mais je ne vois pas le rapport avec les référentiels d'échelle, dans lesquels par définition et contrairement à ce qui est valable ici, on a détruit beaucoup d'information sur l'état physique des systèmes puisqu'on en fait des approximations, à partir de quoi il n'y a plus d'équation à exprimer. Et les transformations qui changent de niveau de résolution détruisent des informations sur le système et ne sont donc pas inversibles.

Il semble clair à la lecture des axiomes qui précèdent que l'essence du caractère mystérieux de la mécanique quantique peut se ramener à la question : où se trouve le plan complexe de la mécanique quantique ? Nous allons dans le présent livre proposer une solution à ce puzzle en montrant qu'un plan complexe émerge naturellement dans l'espace-temps (ou plutôt dans l'espace des vitesses) à partir du moment où l'on abandonne l'hypothèse (arbitraire) de différentiabilité de l'espace-temps.

Ce plan complexe, autrement dit cette notion de phase des états quantiques, est justement l'expression d'un principe de relativité propre à la physique quantique, qu'on pourrait appeler le principe de relativité des phases: la phase d'un état quantique ne peut pas se mesurer dans l'absolu mais seulement relativement à une autre phase, par interférence.
Vouloir réduire cet objet à autre chose lié à l'espace-temps, c'est aller à l'encontre de ce principe de relativité.

Plus généralement, les autres principes de relativité qu'on rencontre en physique quantique, à savoir les invariances de jauge, sont d'autant mieux des principes de relativité authentiques et riches qu'ils sont indépendants de notre espace-temps à 4 dimensions. Ils se rapportent à ce qui ressemble à des dimensions supplémentaires, et les théories des cordes basées sur des espaces de dimension nettement supérieure à 4 portent justement l'espoir d'interpréter ces invariance de jauge comme correspondant aux dimensions supplémentaires de l'espace physique, au-delà de nos 4 dimensions d'espace-temps. D'ailleurs, on peut remarquer que c'est une grande avancée de la théorie de la relativité que de nous projeter dans un espace de dimension 4, au-delà de notre habitude d'un espace à 3 dimensions, et de profiter des invariances par rotation dans cet autre espace. Que répondre à la question naïve des gens à qui on parle de la relativité pour la première fois : "Mais où se trouve donc la quatrième dimension ?" ? Eh bien... elle ne se trouve pas dans nos 3 dimensions d'espace en tout cas. Pour la même raison, la recherche d'une construction des autres invariances de la physique quantique comme construites à partir de notre espace-temps de dimension 4 (comme il annonce à la fin de son article ci-dessus mentionné au sujet de l'interaction faible) me semble insensée.  Cela détruirait tous les principes de relativité largement établis à ce jour en tout cas.

Deux explications valent mieux qu'une

Il avait déjà expliqué, comme nous disions, la nature du caractère relatif de la phase de la fonction d'onde d'une charge, autrement dit l'intervention du groupe de jauge U(1) de l'électromagnétisme, en identifiant cette fonction de phase à la variable d'échelle. Mais ici dans son livre (partie ne figurant pas dans les chapitres ici reproduits mais qu'au peut voir traîner ailleurs), il explique en plus la nature complexe de la fonction d'onde en définissant sa partie réelle et sa partie imaginaire comme représentant respectivement la demie-somme et la demi-différence des dérivées à gauche et à droite de la ligne d'univers fractale de la particule. Je ne sais pas comment il fait pour expliquer qu'une variation du champ d'échelle suivant un certain facteur (lequel ?) entraîne un échange des dérivées à gauche et à droite. Probablement cela signifie-t-il qu'avec les charges il y a de la spirale dans l'air, qui tourne d'un demi-tour quand on la zoome d'un certain facteur, mais alors on se demande pourquoi il ne l'a pas écrit explicitement. Peut-être la ligne d'univers aurait des détails en spirale à toutes les échelles. C'est bien gentil, mais pourquoi ? Oh vous savez, il ne faut surtout pas poser trop de questions. On était partis de correspondances hypothétiques posées au hasard entre les effets, et là nous voyons qu'en grattant un peu cela devait reposer sur telle forme un peu plus précise, mais dont on ne voit nul mécanisme raisonnable susceptible de l'engendrer. Bon, mais ce n'est pas le tout, car s'il y a des spirales, dans quel sens tournent-elles ? Dans le sens du spin peut-être ?? Il n'y a pourtant aucune nécessité de principe à ce qu'une particule chargée ait un spin. Et dans l'espace-temps de dimension 4 ça donne quoi ??
Trève de prise de tête, ne cherchons pas si loin, mais reportons-nous au théorème d'analyse suivant que tout étudiant en mathématiques devrait savoir redémontrer en exercice:

Théorème. Si f est une fonction continue d'un intervalle de R dans R, partout dérivable à gauche et dont la fonction dérivée à gauche est continue, alors f est dérivable (donc f est dérivable à droite et ses fonctions dérivée à gauche et à droite sont égales).
CQFD.

L'opération consistant à localiser un événement a les propriétés suivantes

Suit un mélange de choses faussement comparables, qui embrouillent les idées.
Je réordonnerais tout cela en les catégories suivantes:

1) La définition d'une structure mathématique sensée représenter l'espace: un espace affine, une variété riemannienne, une variété topologique, une géométrie non-commutative ou tout ce qu'on voudra; toute autre structure mathématique construite dessus et sensée représenter les objets physiques (champs comme applications ou distributions, etc), et l'expression de telle ou telle loi de la physique comme relation mathématique entre ces structures.
Il s'agit là de lois de la physique supposées exactes dans la mesure des expériences qui ont pu être réalisées, et cette supposition se base sur la globalité des expériences très diverses réalisées dans le passé, via l'hypothèse de plausibilité suivante: c'est que "vraisemblablement", telle ou telle sorte d'écart (erreur, approximation) d'amplitude significative (de tel ordre) séparant d'un côté cette théorie idéale, de l'autre côté la réalité des lois de la nature, aurait dû vraisemblablement avoir des répercutions observables dans une quelconque des expériences effectuées au cours de l'histoire de la physique expérimentale, qui nous aurait apparue inexplicable et aurait abouti à remettre en cause les théories; comme cela n'a pas eu lieu, on peut donc tenir ces lois pour exactes suivant une excellente approximation.

2) C'est bien gentil tout ça, mais en pratique, les lois ainsi formulées s'avèrent d'une complexité inextricable pour la résolution des problèmes particuliers qui nous intéressent. On a donc besoin d'un système d'approximations théoriques, simplifiant la complexité mathématique du modèle par des hypothèses de régularité qui permettent, à partir de l'expression théorique générale des lois de la physique écrites au 1), d'exprimer finalement la résolution théorique d'un problème donné par des formules relativement simples mais dont l'exactitude est beaucoup moins fine (et donc beaucoup plus éloignée de la réalité physique) que celle du 1); ou encore par exemple la finitisation du problème en termes de pixels ou autres éléments finis aboutissant à des calculs numériques.

3) Le choix d'un système de coordonnées, qui fait correspondre les points de l'espace abstrait de la théorie à un système de nombres réels (ou entiers dans le cas d'un ensemble de points discrets), ce qui est une équivalence mathématique exacte entre deux systèmes mathématiques aussi idéaux l'un que l'autre, dont l'un est symétrique (existe en soi indépendamment des coordonnées) tandis que l'autre est numérique (se rapporte à un objet de référence arbitraire). Le repère invoqué peut être ou non relié au choix particulier de méthode des éléments finis du 2).

4) Une procédure expérimentale visant à donner des informations approximatives sous forme chiffrée à propos de l'état de tel système physique particulier qu'on a en face de nous, dont on veut savoir à quels objets mathématiques du modèle théorique il pourrait correspondre. Cela procède par éliminations, chaque mesure permettant d'éliminer pas mal d'états théoriques qui restaient autorisés par les mesures précédentes. On espère que le domaine des possibilités qui resteront à la suite de ces mesures correspondra grosso modo à un seul "état approximatif" du système, au sens défini au point 2) (mais aucun principe ne l'assure a priori).

On remarque que les imperfections du 4), liées aux appareils de mesures, n'ont a priori rien à voir ni avec les approximations de 2), ni encore moins avec l'expression théorique des lois de la physique du 1).

(développement de l'argument pas fait.... )

... à la fin du chapitre, il donne finalement un soi-disant énoncé de son principe de relativité d'échelle, par quelque chose qui ressemble superficiellement à une formule. Plus ça prétend se donner une allure de précision, plus ça branle dans le manche. Que peut-on répondre à ce genre de démarche, qui prend un malin plaisir à naviguer dans le flou pour minimiser les risques de réfutation (on ne peut réfuter que s'il y a quelque chose à réfuter) tout en laissant superficiellement planer des airs de précision pour embarquer l'enthousiasme de ceux qui ne font pas attention. Je ne vais pas énumérer la liste de tous les aspects de cet énoncé qui manquent de sens (il faudrait presque tout répéter en fait) mais je vais juste proposer le petit exercice suivant.
Soit une fonction f(t,x,y,z;Dt,Dx,Dy,Dz).
Soit le nouveau système de coordonnées obtenu par rotation d'un huitième de tour dans le plan (x,y), soit
x'=(x+y)/Rac(2)
y'=(y-x)/Rac(2)
Exprimer la fonction f'(t,x',y',z;Dt,Dx',Dy',Dz) obtenue par transformation de f lors de ce changement de repère.
Inverser la transformation pour exprimer f en terme de f'. Vérifier qu'on retrouve le f de départ.

Pour en savoir plus sur ce livre: un résumé se trouve ici.


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Si la relativité et la physique théorique vous intéresse, une présentation rénovée se trouve ici: La relativité restreinte rendue intuitive - English version: Special relativity theory made intuitive